Bukiet (topologia)

Bukietem dwóch przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną powstałą poprzez „sklejenie” tych przestrzeni w jednym punkcie. Mówiąc ściśle, jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi z punktami wyróżnionymi $x_{0}\in X,y_{0}\in Y,$ to przez ich bukiet rozumiemy przestrzeń ilorazową sumy rozłącznej $X\sqcup Y$ tych przestrzeni poprzez najmniejszą relację równoważności utożsamiającą punkty $x_{0}$ i $y_{0}{:}$

$X\vee Y=(X\amalg Y)\;/\;\{x_{0}\sim y_{0}\}.$

Ogólniej, jeśli $\{X_{i}\}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi $\{p_{i}\},$ to bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń

$\bigvee _{i}X_{i}:=\coprod _{i}X_{i}\;/\;\{p_{i}\sim p_{j}\mid i,j\in I\}.$

Rezultat powyższej konstrukcji zależy na ogół od wyboru punktów wyróżnionych $p_{i}\in X_{i}.$

Przykłady

Bukiet dwóch okręgów jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie cyfry 8.

Rozważmy najmniejszą relację równoważności $\sim$ utożsamiającą wszystkie punkty leżące na równiku sfery n-wymiarowej $\mathbb {S} ^{n}.$ Przestrzeń ilorazowa $\mathbb {S} ^{n}\;/\sim$ jest homeomorficzna z bukietem $\mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}.$

Rozważmy dwie kopie $I,J$ odcinka jednostkowego $[0,1].$ Niech $i\in I,j\in J$ będą punktami wyróżnionymi. Jeśli $i,j\in \{0,1\},$ to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z odcinkiem. Jeśli $i\in \{0,1\}$ i $0<j<1$ (lub $0<i<1$ i $j\in \{0,1\}$), to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery T. Jeśli zaś $0<i,j<1,$ to $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery X.

Opis teoriokategoryjny

Z punktu widzenia teorii kategorii bukiet jest koproduktem w kategorii przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi. Bukiet interpretować można również jako koprodukt włóknisty (pushout) diagramu $X\leftarrow \{\bullet \}\to Y$ w kategorii przestrzeni topologicznych ($\{\bullet \}$ oznacza tu dowolną przestrzeń jednopunktową).

Własności

Bukiet przestrzeni $X,Y$ z punktami wyróżnionymi $x_{0},y_{0}$ jest homeomorficzny z następującą podprzestrzenią produktu $X\times Y$ tych przestrzeni:

$(X\times \{y_{0}\})\cup (\{x_{0}\}\times Y).$

Własność ta nie przenosi się na bukiety nieskończonych rodzin przestrzeni topologicznych.

Z twierdzenia Seiferta-van Kampena wynika, że jeśli przestrzenie $X,Y$ są odpowiednio „dobre” (np. są CW kompleksami), to grupa podstawowa bukietu tych przestrzeni jest izomorficzna z produktem wolnym grup podstawowych przestrzeni $X$ i $Y.$